线性回归的假设

你将学习线性回归假设的基本原理，以及如何使用现实世界的例子来验证它们数据分析.

亮点

线性回归是一种广泛使用的预测建模技术，用于理解变量之间的关系。
残差的正态性有助于确保线性回归中的无偏预测和可信的置信区间。
同方差性保证模型的预测在不同值上具有一致的精度。
识别和解决多重共线性可以提高回归模型的稳定性和可解释性。
数据预处理和转换技术（例如缩放和标准化）可以缓解线性回归中的潜在问题。

线性回归是一种建模和预测目标变量与一个或多个输入变量之间关系的技术。

它帮助我们了解输入变量的变化如何影响目标变量。

线性回归假设一条直线可以表示这种关系。

例如，假设您要考虑房产的大小（以平方英尺为单位）和年龄（以年为单位）来估计房产的成本。

在这种情况下，房子的价格是目标变量，大小和年龄是输入变量。

使用线性回归，您可以估计面积和年龄对房屋价格的影响。

线性回归的假设

为了使模型可靠和有效，需要满足线性回归中的六个主要假设。这些假设是：

1. 线性

该假设表明因变量和自变量之间存在线性关系。换句话说，因变量的变化应该与自变量的变化成比例。可以使用散点图或通过检查残差来评估线性。

2. 误差的正态性

残差应服从均值为零的正态分布。该假设对于正确的假设检验和构建置信区间至关重要。误差的正态性可以使用视觉方法（例如直方图或 QQ 图）或通过统计检验（例如 Shapiro-Wilk 检验或 Kolmogorov-Smirnov 检验）来评估。

3.同方差性

该假设表明残差方差在所有自变量水平上应保持恒定。换句话说，对于自变量的所有值，残差分布应该相似。可以使用残差散点图或像 Breusch-Pagan 检验这样的正式检验来识别违反此假设的异方差性。

4. 错误的独立性

该假设表明数据集观测值应该彼此独立。在处理时间序列或空间数据时，由于时间或空间上的接近性，观察结果可能相互依赖。违反这一假设可能会导致估计偏差和不可靠的预测。在这种情况下，时间序列或空间模型等专门模型可能更合适。

5. 不存在多重共线性（多元线性回归）

当线性回归模型中的两个或多个独立变量高度相关时，就会出现多重共线性，这使得确定每个变量对因变量的精确影响变得具有挑战性。多重共线性可能导致估计值不稳定、标准误差膨胀，以及系数解释困难。您可以使用方差膨胀因子 (VIF) 或相关矩阵来检测多重共线性。如果存在多重共线性，请考虑删除其中一个相关变量，合并相关变量，或使用以下技术主成分分析（PCA）或岭回归。

6. 观察的独立性

通过确保满足这些假设，您可以提高线性回归模型的准确性、可靠性和可解释性。如果违反任何假设，则可能需要应用数据转换、使用替代建模技术或考虑其他方法来解决问题。

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假设	描述
线性度	使用散点图检查因变量和自变量之间的线性关系
常态	使用 Shapiro-Wilk 检验评估残差的正态分布
同方性	误差项的恒定方差，使用 Breusch-Pagan 检验进行评估
错误的独立性	独立误差项，使用 Durbin-Watson 检验进行验证
观察的独立性	独立收集的数据点，无自相关
不存在多重共线性	使用 VIF 和公差测量确定的自变量之间不存在多重共线性

实际例子

以下演示了具有两个自变量和一个因变量的线性回归模型问题。

在此示例中，我们将对房屋的面积和年龄与其售价之间的关系进行建模。

该数据集包含 40 栋房屋的面积、房龄和售价。

我们将使用多元线性回归来估计平方英尺和年龄对售价的影响。

这是一个包含可以复制和粘贴的数据的表：

将数据复制到剪贴板

排屋	平方英尺	年龄	价格
1	1500	10	250000.50
2	2000	5	300000.75
3	1200	15	200500.25
4	2500	2	400100.80
5	1800	8	270500.55
6	1600	12	220800.60
7	2200	4	320200.10
8	2400	1	420300.90
9	1000	18	180100.15
10	2000	7	290700.40
11	1450	11	240900.65
12	2050	6	315600.20
13	1150	16	190800.75
14	2600	3	410500.50
15	1750	9	260200.55
16	1550	13	210700.85
17	2300	3	330400.45
18	2450	2	415200.90
19	1100	17	185300.65
20	1900	8	275900.80
21	1400	12	235800.55
22	2100	6	305300.40
23	1300	14	195400.25
24	2700	3	410200.75
25	1700	10	255600.20
26	1650	11	215400.60
27	2150	5	325500.50
28	1250	15	205700.85
29	2550	4	395900.90
30	1850	9	265100.65
31	1350	13	225900.40
32	1950	7	285800.15
33	1100	16	195900.80
34	2800	3	430700.55
35	1750	10	245500.20
36	1600	12	225300.10
37	2000	7	310700.50
37	2000	7	310700.50
38	1200	15	201200.90
39	2600	4	380800.65
40	1800	8	279500.25